等比数列求和公式(几何级数相关知识讲解及公式应用)
几何级数定义:
(资料图片)
如果一个数列中的每一项从第二项到前一项的比值等于一个常数(不是0)，那么这个数列叫做几何级数。
这个常数叫做几何级数的公比。
看下面这个问题:
【例1】求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。
通过观察会发现，这个数列的最后一项比前一项多2。
21=2;
42=2;
84=2;
……
1024512=2。
所以这个题目是典型的几何级数求和问题，
公比是2。
例1中，如果用笔做难的数学，会很麻烦，容易出错。
这里G老师分享一个计算几何级数和时经常用到的方法。
位错减法
顺序a = 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024，
g老师要求公式A乘以数列的公比，
你会得到什么？
2A = 2+4+8+16+32+128+256+512+1024+2048，
这样，我们构建了一个新的序列，
而这个级数的和等于原级数乘以公比。
减去两个公式，
教师笔迹
左边是2a-a = a；
右边是2048-1；
等式右边的其余项已被抵消。
所以我们得到了结果，
1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047
我们来看看下面这个问题。
【例2】计算3+9+27+81+243+729+2187
解析:此题为几何级数求和，公比3，共7项。使用位错减法，将该方程乘以其公比。
顺序a = 3+9+27+81+243+729+2187；
3a = 9+27+81+243+729+2187+6561；
减去两个红豆博客，
3A-A=2A=6561-3
2A=6558
A=65582=3279
所以，
3+9+27+81+243+729+2187=3279
在洪都博客中总结几何级数的一般规律。
几何级数，
公比=最后一项和最后一项；
最后一项的值=第一项的x公比的(n-1)次方(n代表项数)。
注:公比的(n-1)次方=(n-1)乘以公比。
与示例2中一样，最后一项是2187，第一项是3，项数n=7。
2187=3x3^(7-1)
几何级数之和=(最后一项x公比-第一项)(公比-1)
(通过位错减法获得)
