相交线与平行线(相交线与平行线的经典问题)
【资料图】
知识点:
相交线和平行线的知识框图
第一，相交线
1.相邻余角和顶角的相关概念。
(1)相邻和互补的拐角:
如果两个角有一条公共边，它们的另一条边是相对的延长线，那么这两个角是互补的。
(2)顶角:
如果一个角的两条边是另一个角的两条边的相对延伸，那么这两个角就是对角。
如图所示，直线AB和CD相交于O点，形成四个角，分别为∠1，∠2，∠3，∠4。
有四对相邻的互补角，即∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1；
有两对顶角，分别∠1和∠3，∠2和∠4。
2.邻余角和对顶角的性质
互补的相邻拐角；顶角相等。
3.邻补角和对角的应用。
【例1】如图，直线A和B相交，∠ 1 = 45。求∠2，∠3，∠4的度数。
解决方案:
∵ ∠1 + ∠2 = 180 ,
∴ ∠2 = 180 - ∠1 = 180 - 45 = 135 .
∵ ∠3 = ∠1,∠4 = ∠2,
∴ ∠3 = 45 ,∠4 = 135 .
第二，垂直线
1.垂直线的相关概念
(1)垂直:
两条直线相交，其中一条是直角，两条直线互相垂直；
(2)垂直线:
两条直线互相垂直，其中一条称为另一条的垂线。
2.垂直度的本质和判断
如图所示，
(1)垂直性质:
∫ab⊥cd(已知)，
∴∠AOC = 90 °(垂直定义)。
(2)纵向判断:
∫∠AOC = 90°(已知)，
∴ AB⊥CD(垂直定义)。
3.垂直线的性质
在同一平面上，只有一条直线垂直于已知直线在一点上。
4.垂直线的应用
【例题2】如图，直线AB与CD相交于点o，OE⊥AB在点o，∠ 1 = 40，
求∠2和∠COA的度数。
解决方案:
* oe⊥ab，
∴∠波音= 90，
∫∠2+∠BOE+∠1 = 180，
∴∠2 = 180-∠京东方- ∠1 = 50。
∵∠ 2+∠ CoA = 180，
∴ ∠COA = 180 - ∠2 = 130。
第三，点到直线的距离
1.垂直线段的定义:
如图，直线PC⊥AB，线段PC称为从点p到直线AB的垂直线段。
2.在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂直线段最短。
如图所示，下列选项中最短的线段是(B)
A.PA B.PB C.PC D.PD
3.从一条直线外的一点到这条直线的垂直截面的长度，叫做从这点到这条直线的距离。
如图所示，线段PB的长度称为P点到直线m的距离.
四、同角、错角、同侧角。
1.三线八角
如图，直线AB和CD被直线EF切割，形成八个角，简称“三线八边形”。
(1)同侧同向-同位置角度:
比如∠1和∠5，以及∠4和∠8，∠2和∠6，∠7和∠3；
(2)两侧不同方向——阴角:
比如∠3和∠5，图中有∠4和∠6；
(3)同边异向——同边和内角:
比如∠3和∠6，图中有∠4和∠5。
2.同位角，错角，同侧角。
[实施例3]如图所示，
① ∠1和∠ 4是全等角；② ∠2和∠ 1为内角；③∠3°和∠1°是同侧内角。
3.应用同位角、错角和同侧角。
[例4]如图所示，
①∠1°和∠8°是直线AF和直线AG被直线de切割形成的同侧内角；
②∠4°和∠8°为直线AF和直线AG被直线DE切割形成的共位角；
③∠2°和∠8°是直线AF和直线AG被直线DE切割形成的内部位错角。
动词 （verb的缩写）平行线
1.平行线的定义
(1)观察和思考:
在旋转直线A的过程中，是否存在直线A和直线B不相交的位置？
(2)定义和表示:
在同一平面上，两条不相交的线是平行线。
一条直线平行于b，记为a∨b .
(3)总结:
同一平面内两条直线的位置关系有两种:①平行；②相交。
2.平行公理和推论
(1)直线外的一点后，有且仅有一条直线与已知直线平行。
(2)推论:
如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线相互平行。
如图所示，
∫b∥a,c∥a,∴b∨c。
3.平行线的确定
(1)测定方法1:
两条直线被第三条直线切割。如果同角相等，则两条直线平行。
简单来说:同一位置角度相等，两条直线平行。
如上图，画直线AB，CD，
得到AB∑CD的原因是全等角相等，两条直线平行。
结合图形，用符号语言表达判断平行线的方法；
∫∠1 =∠2(已知)，
∴ab∑CD(位置角相等，两条直线平行)。
(2)判断方法二:
两条直线被第三条直线切割。如果内角相等，则两条直线平行。
简单来说:内角相等，两条直线平行。
如图所示，
∵ ∠1=∠2,
∴a∑b(内角相等，两条直线平行)。
(3)判断方法三:
两条直线被第三条直线切割。如果它们互补，这两条直线就是平行的。
简单来说:外角和内角互补，两条直线平行。
如图所示，
∵ ∠1 + ∠4 = 180 ,
∴a∑c(与侧角和内角互补，两条直线平行)。
(4)判断方法四:
在同一平面内，如果两条直线垂直于同一直线，则这两条直线平行。
* c⊥a b⊥a，
∴b∑c。
4.平行线的性质
(1)两条直线平行，同一位置角度相等；
(2)两条直线平行，内角相等；
(3)两条直线平行且与侧角和内角互补。
【例5】如图所示，已知AB∑CD。
(1) ∠ Abe = 130，∠ CDE = 152，求∠E的度数；
(2)请猜测∠B+∠E+∠D的程度，并说明理由。
参考答案:
(1)∠E = 78；
(2)∠B + ∠E + ∠D = 360。
(提示:E点后，使EF∨AB。)
