古罗马数字(新罗马字体百科)-07-25 14: 52...一块砖守护着你。
人类的普遍观念是，事物必须有最基本的结构，在此基础上才能逐渐丰富，变得越来越复杂。所以人类首先发明了最基本的单位“1”，“1”的发明是数学理论的开端。但基本单位必须通过某种运算才能组合成复杂的结构，于是人类发明了“加减乘除”四则运算。人类通过对数字“1”的无尽运算，发现了自然数、负数、整数、奇数、偶数、完全数、质数、代数数、有理数、无理数、超越数、超限数、实数、虚数、复数等一系列数系。
(资料图)
纵观“数”的发展史，可以发现数系的发现与人类认知的发展密切相关。起初，人们只知道数字是从1开始逐渐增大的一系列数字。这些数字整齐地排列在一维数轴上，间隔相等，数量无穷。这些数字是自然数。“0”这个数字是在人类长期使用自然数之后才出现的。在古印度，人们发明了九个梵语单词来代表从1到9的数字。当描述超过9的数字时，他们把它带到一个新的位置，再从1开始数。但是代表“十”的时候，1后面少了一个位置空，什么都没有，是的。当时佛教在印度盛行。在大乘空佛教的影响下，引入了梵文Sūnya来代表这个数字，意思是“空”。后来，这个数字在公元500年左右传入古罗马。但根据罗马教义，上帝创造的数字中没有怪物“0”，它的出现是对上帝的亵渎。因此，教皇不仅残酷地折磨引进“0”的学者，还禁止使用“0”。但“0”的使用在当时的数学领域仍然是秘密进行的，也为数学的发展做出了重要贡献。实践证明，“0”在数学中是不可或缺的，因为“0”不仅是唯一的中性数，还是正数和负数的分界点，是坐标轴的原点。没有“0”，坐标系就无法建立，整个几何建筑就会坍塌。
分数的出现是比较自然的。原始人类发现，在分配猎物时，如果三个人分两块猎物，每个人都无法再得到整个猎物？于是分数产生了。随着社会的发展，人们发现很多量都有相反的含义，比如增加和减少，前进和后退，上升和下降。为了表示这样一个量，产生了一个负数。正整数、负整数和零统称为整数。如果加上正负分数，合起来就叫有理数。
对应有理数的是无理数。无理数的发现是非常偶然的。在公元前500多年的希腊，出现了一个毕达哥拉斯学派。他们认为“数”是万物之源，主宰着整个自然界和人类社会。所以世界上的一切都可以归结为数或数的比例，这是世界美好和谐的源泉。但是有一天，学校里一个叫希帕索斯的学生意外地发现，边长为1的正方形的对角线长度不能用任何分数来表示。这个数必须存在，但不能用现有的数来表示。这个数的出现动摇了毕达哥拉斯学派的哲学基础。为了让支撑世界的数学大厦不至于倒塌，他们残忍地将希帕索斯扔进了大海，并对此保密。但是，真相是藏不住的。人们后来发现越来越多这样的数，是无理数。有理数和无理数统称为实数。
至此，人们认为所有的数都找到了，实数系统已经被这些数填满了，什么都没有遗漏。但事实证明，这只是一厢情愿的假设。数学家在研究实数系中各种数集之间的对应关系时，发现自然数和实数虽然是无限的，但却无法建立一一对应的关系。也就是说，实数中一定有一个看不见的数，是无法列举的。后来，他们发现这个数是先验的。目前我们找到的超越数只有圆周率的底数E和自然对数以及少数与之相关的。无限超越数还隐藏在实数的海洋中等待被发现。目前我们只知道E可以表示成分母有规律变化的连续分数，而π不能。超越数的规律是什么，超越数能否进一步分类，都是数论中未解之谜。
由于实数比自然数多，所以实数的无穷性大于自然数的无穷性。这样，自然界就有了大小不一的无限。如果把这些“无限”按大小排列，就构成了一个超限数系统，其中每个数都是无限的，但它是大小不同的无限。康托一直试图证明自然数和实数之间是否存在其他无穷大，这就是著名的连续统假说。如果没有其他无穷大，连续统假设为真，否则，连续统假设为假。令人惊讶的是，康托的所有努力都将付之东流，因为连续统假说在包括选择公理在内的体系中既不能被证明，也不能被证伪，而选择公理就是我们经常默认应用的常识公理。它的大致意思是:“如果有无限多堆苹果，我们可以从每堆中选择一个，组成新的一堆苹果”。这个看似简单确定的公理，其实关系到数学的基础。认识到这个公理，连续统假说就无法得到证明，也就是说，我们永远无法分辨自然数的无穷和实数的无穷之间是否还有其他的无穷。没有认识到这个公理，连续统假设就是错误的，即自然数的无穷和实数的无穷之间有更多层次的无穷，这样的无穷的数量是无穷的。关于连续统假说的争论从来没有停止过。首先，“选择公理”正确吗？可以用更基本的公理来证明吗？其次，真正影响连续统假说的是选择公理吗？加入“选择公理”后“连续统假说”不能证明吗？后来这些问题有了不同的观点和争论。我个人认为问题的关键在于可数性，而我们通常意义上的无限是以可数性为基础的，即我们可以把连续的数转化为离散的数，一个一个地数出来。这也是我的一个重要观点:“出入不是抽象世界和物理世界的基本属性，而是观察者和观察过程的基本属性。被观察对象的连续性总会根据观察者的尺度表现出不同精度的离散性。我们观察到的物理世界永远是离散的、量子的，不可能是连续的。”在此基础上，只能有一种无穷大，对应自然数的无穷大。超出这个基础，就会超出我们的观察范围，也就是系统会变得连续不可数。一个不可数的系统只有一个无穷大，对应的是实数的无穷大。一个连续统所涵盖的内容超出了人类意识的范围，连续统没有可数性。严格来说，它没有所谓的“无限”，只有凌驾于无限之上的“超贫”。不可数的东西不会延伸，只会永恒。“超级贫困”已经超越了数量的概念，成为一种固有的性质。
复数的发现是偶然的。学过初等数学的都知道负数没有平方根，因为任何实数的平方都是正的。但在16世纪，意大利米兰学者卡当在解三次方程时，首次使用了负数的平方根。笛卡尔将这个看似不存在的平方根称为“虚数”。后来科学家不断质疑和争论“虚数”的真实性，直到高斯发现二维平面上的点的坐标可以用实数和虚数一起表示，才平息了这些争论。平面上点的坐标所代表的数是一个复数。至此，人们终于认识到复数原来对应的是一个二维的数集，数系第一次与维数相关联。实数对应一维直线上的一点，复数对应二维平面上的一点。虽然已经证明了直线上的点可以与平面上的点建立一一对应的关系，但是不能认为直线和平面是等价的。这里的关键在于维度。“直线上的点”和“平面上的点”的本质区别是“点与点的关系”的区别，这就决定了直线不能代替平面。直线上的点是按顺序排列的，大数总是在小数前面，而平面上的点比直线上的点有更复杂的关联。我们不能比较两个复数的大小，只能比较两个复数范数的大小(范数是代表复数的点到原点的距离的平方)，范数相同的复数正好形成一个以原点为圆心的圆，所有复数都满足两个复数范数之积等于两个复数之积的范数。也就是说，只有一条直线和一个平面上的点数是相同的，但它在更高层次上具有更复杂的性质，即在数的规律背后隐藏着更深层次的规律性，这就是量纲的性质。
复数的发现只是人类对更高维度认识的开始。发现1元数A对应实数，在几何上可以描述为一条直线。如果实数加减，相当于一条直线左右移动；如果对一个实数进行乘除，相当于拉伸或翻转一条直线(翻转乘以一个负数)。2元数(a+bi)对应一个复数。在几何学中，它可以描述为平面上一点的坐标。再加一个复数a+bi，就相当于把点横向移动A，然后纵向移动b，乘以一个复数，不仅会移动平面，还会旋转平面。乘以I相当于把飞机逆时针旋转90度，乘以I再乘以I相当于把飞机转半圈。除法是乘法的反义词。除以复数就是把放大变成缩小，或者反过来把缩小变成放大，然后反方向旋转。大部分可以在实数上做的运算也可以在复数上做，而且用复数更方便一些方程的求解。
数学家们很快意识到，如果二维数系能为我们提供更大的计算能力，为什么不考虑扩展到更高维的数系呢？然而，这项看似简单的工作却异常艰难。19世纪爱尔兰著名数学家汉密尔顿在研究复数向三进制数a+bi+cj的推广时，遇到了难以克服的困难。因为三进制数的乘法不能满足“模法则”，而且ij和ji的关系和数值也不能明确定义。数的平方和定理导致三进制数的定义出现问题，然后ij的值给三进制数带来了很多无法解决的问题。也许三进制数一开始就错了，也有可能它需要实数和虚数之外的另一个数来表示ij。总之，三进制数就像一个残次品，没有任何有意义的性质。而扩展到四维的四元数a+bi+cj+dk前途光明。根据汉密尔顿的描述，当他和妻子在都柏林的皇家运河上散步时，他们突然想到了方程i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 1的解。汉密尔顿随即将这个方程刻在附近的布鲁姆桥上，一度成为数学界的趣谈。如果我们把四元数的集合看作多维实数空，那么四元数就代表了一个四维空空间。四元数乘法的组合率满足但交换率不满足，即ab不等于ba。四元数的“加减乘除”运算可以表示三维空中物体的运动，其中bi、cj、dk用于描述三维中的旋转和缩放，A用于描述整个三维中的伸缩程度空，也就是说要描述三维空。
数系向高维扩展的步伐并没有停止。1845年，阿瑟·凯利发表了关于八进制数的发现。八进制数(a+bi+cj+dk+el+fm+gn+ho)是四元数的非结合推广，它不满足乘法的组合率，即a(bc)不等于(AB) C，后来发现这一系列新的数系满足一个简单的规律，即每个代数系的维数是前一个的两倍。这样的代数系统构成一个序列，称为Gloria-Dixon构造，通过这个过程产生的所有代数系统，即所谓的Gloria-Dixon代数系统。实数、复数、四元数、八进制数都是Kelley-Dixon构造的代数系统序列之一。这四种数都满足两个相同的定律:第一，两个数的范数的乘积等于两个数的乘积的范数；第二，这四种数可以做“加减乘除”四则运算，我们称之为“赋范整除代数”。虽然定义允许“赋范可除代数”是无限维的，但实际上并不是这样。实数域中唯一赋范的可除代数是实数、复数、四元数和八进制数。也就是n个平方和与n个平方和的乘积可以写成n个平方和，只在n为1，2，4，8时成立。数学表达式为:(A1 ^ 2+A2 ^ 2+…+An ^ 2)(B1 ^ 2+B2 ^ 2+…+BN ^ 2)= C1 ^ 2+C2 ^ 2…+CN ^ 2(当且仅当n=1，2，4，8)。一个有趣的现象是，与实数相比，复数缺少“共轭就是本身”的代数性质；四元数比复数缺少“乘法交换律”；但八位比四元数缺乏“乘法结合律”；与八进制数相比，十六进制数保留了一种叫做幂组合的代数性质，但失去了“代数的交错性”，因此不再是复合代数。
高维系统的膨胀让我们看到，维度越高，自由度越多，但自由度越高，就失去了运行所依赖的基础。看来自由度应该有个限度，否则宇宙可能会在物理世界的层面上坍缩。抽象世界只允许这四个数系“赋范且可除”，这是宇宙自律的一种表现。也许只有这些数系才能表达我们所处的物理世界，而高维代数只能表达不可观测的世界。
回过头来看，我们会发现，无论是对人类对数的定义还是理解，都隐含着两个基本原则:1。“离散性原理”(或量子)，即我们认为1是一个基本单位，一个基本量子，它是一个整体。虽然在数学的抽象世界中是无限可分的，但人类的认知中始终相信，在最后还有一系列更精细的单位1，因为只有在这个基础上，数字才能被计数。2.“平均原则”，即我们总认为下一个数必须增加单位量。例如，1后面跟着2，2后面跟着3，3后面跟着4，依此类推，直到无穷大。无论分数、小数、无理数还是超越数，它们总是由无数个更细点的单位组成。这些单位总是均匀地分布在同一层，这就是所谓的十进制。当第一个原理被打破时，我们就有了微积分。微积分体现了一种不断变化的运算思想。它重新确立了无限可分的离散变化过程的整体连续性，引发了数学发展史上的一场革命。那么有没有可能打破第二原理，实现数学的新突破呢？我们可以看到，平均原理的结果是系统的确定性，即无论我们采用什么系统，我们总能看到两个不同区间的结构是相同的。这种方式与宇宙的随机性和不确定性是矛盾的，用这种方式无法计算不确定性，不能很好地表达不确定量。能否通过引入概率发展出一个性质不同的数集？我们可以用这种方法构造一个新的自然数集。我们可以把“基本单位”表示为一个不确定的随机量，后面的数字会以这个不确定量为总概率增加随机量，以此类推。比如随机数M是第一个数，那么M就是基本单位。基本单位具有自身数乘以自身数等于自身数的性质。数学表达式为m m = m，第二个数为m+mx1，第三个数为m+mx1+mx2，其中x1，x2...xn是0和m之间的随机数。如果x1 = x2 = x3 =...xn可以看出，这个数系比自然数更基础。也许我们可以用它来更准确地描述这个不确定的量。它的研究能有一些不寻常的发现吗？能否揭示我们之前对概率的认识其实是基于“平均律”的根深蒂固的影响？在这样的数系中，传统概率的正态分布、幂律、齐夫定律的曲线会变直吗？概率分布呈现曲线是因为平均数吗？在此基础上，我们甚至可以建立非整数随机十进制，那么有没有可能存在无理数或者十进制之外的数呢？这样的数字所描述的抽象世界会是什么样子？我相信有一天人类能够解开这个谜。
再来说说质数。质数是一种非常特殊的数，是整个自然序列的基础。它的数学定义是“在大于1的自然数中，除了1和整数本身不能被其他自然数整除的数”。换句话说，只有两个正因子(1和自身)的自然数是素数。更好理解的理解是:“在不破坏苹果的情况下，如果要把一堆有质数的苹果分成相等的N份，每堆只能有一个苹果”。在自然界中，1应该算是一个质数，因为它的正因子只有1和它本身，但它只是1。素数的分布一直是数学中一个棘手的问题。质数就像一堆按照自然顺序生长的乱草。虽然它们逐渐稀疏直至无限，但似乎根本没有规律可言。关于素数分布最著名的定理是众所周知的哥德巴赫猜想。它是这样描述的:“任何大于2的偶数都是两个素数之和”，意思是:“假设有一个任意数的苹果堆，只要能在不破坏苹果的情况下平分成两个相同数的苹果堆，就必然会平分成两个素数的苹果堆”。哥德巴赫猜想至今未被完全证明。到目前为止最接近的证明是中国数学家陈景润先生给出的，此后一直在奋斗。现在，我们知道哥德巴赫猜想等价于素数对称定律，即“对于任意大于3的正整数M，至少有一个小于M的正整数N，使得m+n和m-n都是素数”。简单来说就是“在任何一个整数前后距离相同的地方，总有两个数串联在一起就是质数”。这个规律表现了素数分布的内在对称性，这是一种结构对称性，贯穿于整个素数体系。今天数学家都知道，素数的分布与黎曼猜想密切相关。在调和分析的意义上，黎曼ζ函数的零点可以看作素数分布的调和。
临界线上黎曼ζ函数的实部(红色)和虚部(蓝色)Re(s) = 1/2。不幸的是，黎曼猜想比哥德巴赫猜想更难克服。它是一个比哥德巴赫猜想更基础的问题，关系到数学中许多未解问题的答案。著名数学家希尔伯特曾说过，如果他沉睡了1000年后醒来，他问的第一个问题是:黎曼猜想被证明了吗？时至今日，90多岁的英国著名数学家迈克尔·阿蒂亚(Michael Atia)声称，他对黎曼猜想的证明在数学界仍不清楚。素数的分布可能反映了抽象世界的两个最基本的规则:随机性和对称性。素数的分布是一种随机对称。也许根本无法用普通的代数公式来表达。在内禀对称的前提下，素数的分布总是随机的，不规则的。随机对称不仅是一个矛盾，也是一个有机的组合，而素数就是这个有机组合的全部。对称和随机在质数结构内互相争斗，谁也战胜不了谁。整个质数结构在这种斗争和平衡中被永恒地决定。质数的内部对称性和自相似性必然隐含着更微妙的迭代和更复杂的维数。也许注定是定性而不是定量。
在众多数字中，有两个非常特殊的数字。分别是圆周率，自然对数的底数e，加上I，1，0，形成了与数学基础相关的五种组合。几乎所有重要的数学理论和物理定律都离不开它们。对数的底数e = 1+1/1！+1/2!+1/3!+…，其值约等于2.718281828…，是一个超越数。因为E是底数，很多公式可以简化，用起来最“自然”，所以也叫“自然对数”。螺旋形状和塑造自然物质形态的螺旋形状与E密切相关，E也可以通过一个极限得到，即(1+1/x) x，无论x趋向正无穷大还是负无穷大，都等于2.71828...这也反映了自然界固有的对称性和物极必反的事实。ππ是圆的长度与直径之比，约为3.141592654...它也是一个超越数。π可以严格定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x，与圆密切相关，圆也是自然界中最节省资源的精致结构。在有限的周长下，圆所围成的面积总是最大的。I是虚数的基本单位。它是1在其他维度的镜像。有多少维度，就有多少种不同类型的我。I代表“旋转”的度量。1是自然数的基本单位。实数集合中的所有数都用1的延拓来表示，1代表“延拓”的度量。0是一个无限的量，是无形的，无所不包的。这些最简单最直观的数字，蕴含着最深刻的规律。0，1，I，π，E这五个数字概括了整个世界的空虚无，延伸，旋转，和谐，螺旋上升。伟大的数学家欧拉发现了它们之间的关系，数学家们评价它为“上帝创造的公式”:
实际上是x=π时e IX = cosx+isinx的特例。这个公式也揭示了三角函数和指数函数的关系。欧拉公式让我们对抽象世界有了新的认识。说明在抽象世界中，不同维度看似不相关的量，其实有着密切的联系和变换关系。虚数i*i=-1，说明不同维度的运算有完全不同的意义。数轴上的运算对应拉伸和收缩，二维上的运算涉及旋转。i*i逆时针旋转单位量90度两次，运算结果正好等于-1。我们可以试着这样理解欧拉公式。当X轴上坐标为(e，0)的点在二维空螺旋中以90度角绕原点转π圈时，坐标变为(-1，0)。
关于数字的膨胀，也许人类还远没有走到尽头，但是人们在对数的研究中发现了比数字更重要的东西，那就是结构。数字只是某种表象，其背后是抽象世界的内在结构，是数字的本质。于是，人类实现了飞跃，开始转向对基本结构，即“群”的研究。
