库仑定理(库仑定律的所有公式)
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在学习物理知识的时候，要把一些物理概念和规律与物理学史结合起来，讲解理论的来龙去脉，让学习者得到一个动态的、主动的学习过程，消除物理知识的神秘性，从而增强思维的灵活性。通过研究物理学史，了解物理学家的成败，也可以增强我们对物理学的兴趣，增强我们对“细节推动物理学”的信心。
本文以库仑定律为例，结合物理学史，使“库仑”还原为真正的科学家，使“库仑”不再只是电的单位，“库仑定律”也不只是一个干巴巴的物理公式。今年恰逢C·库仑(1736-1806)诞生280周年，逝世210周年。本文简要回顾了库仑定律的发现过程，希望对读者有所启发。
科学家对电的早期研究
人类对电现象的认识经历了漫长而曲折的道路。商代时期，甲骨文中出现了“雷”和“电”的形声字。然而，直到16世纪，人们才对电的现象有了更深刻的认识。作为英国女王伊丽莎白一世的内科医生，吉尔伯特(W. Gilbert，1544-1603)首先提出了“电吸引”的概念，并系统地研究了静电现象。600年，吉尔伯特发现一些物质相互摩擦后可以吸引光线和小物体。他把这种力称为“琥珀力”。后来，根据希腊单词“琥珀”的词根拟定了科学术语“电”。
18世纪，牛顿创立经典力学理论后，运动三定律和万有引力定律奠定了物理科学发展的基础，统一了天上和地上的运动，完成了对自然规律的第一次理论概括和总结。18世纪中期，人们坚信万有引力定律的正确性，并将其外推到电和磁的研究中。18世纪后期，随着实验条件的不断改善，科学家们开始了电荷相互作用的实验研究。
1733年，法国科学家杜菲(1698-1739)根据大量的实验事实，大胆地得出自然界存在不同种类的电荷的结论。一个叫“琥珀电”；一种叫“玻璃电”。1747年，美国科学家富兰克林(B.Franklin，1706-1790)把丝绸摩擦的玻璃带的电称为“正电”，把毛皮摩擦的琥珀带的电称为“负电”，于是提出了正电和负电的概念。
1759年，德国科学家艾皮努斯(1724-1802)提出了一个假说，即电荷之间的排斥力和吸引力随着带电体之间距离的减小而增大。然而，伊皮努斯并没有用实验来检验这个假设。1760年，D .伯努利(1700-1782)想知道电是否会像重力一样服从平方反比定律。他的想法在当时具有代表性。
1755年，富兰克林观察到电荷只分布在导体表面，而导体内部没有静电效应。他向英国科学家j·普里斯特利(1733-1804)讲述了这一现象，建议普里斯特利重复实验并加以证实。普里斯特利曾经从牛顿的万有引力理论出发，将电荷的作用力与万有引力进行比较，推测电荷的作用力也符合平方反比定律的，但是他没有用实验来证实这个结果，所以停留在推测的阶段，最后被束之高阁。顺带一提，在科研过程中，科学家之间的交流与合作，可以集众人之智慧，形成优势互补，往往能激起宝贵的创作火花，进而发展成为重大的科研成果，推动科学进步。科学史上有很多这样的历史经验可以借鉴。
在科学史上，有两位英国科学家对电做了定量的实验研究，并得出了明确的结论。遗憾的是，他们没能及时发表自己的研究成果，也没有对科学的发展起到应有的推动作用。一个是J·罗宾逊(1739-1805)，一个是卡文迪什(1731-1810)。罗宾逊设计了一个杠杆装置，得出电力服从平方反比定律的结论，指标偏差δ =0.06。他认为实验误差导致指数过大。1801年，罗宾逊宣布了这项研究的结果。
从1772年到1773年，卡文迪什做了一个双层同心球实验(图1)，精确测量了功率和距离的关系。根据卡文迪什的分析，由于带电金属球壳内部任何一点都没有电力，如果将球壳切成两半，在空腔中放入一个电荷，电荷将不受力的影响，这说明P点电荷上两个球壳上电荷的静电力相互抵消。卡文迪什证明，只有当静电力与距离的平方成反比时，这两种力才会相互抵消。由此，他得到了服从平方反比定律的电功率，并将电功率表示为以下形式。卡文迪许的同心球实验比库仑的扭秤实验早了11年。卡文迪什用的是当年最原始的电测仪器，由于设计巧妙，得到了非常可靠的结果。
图1卡文迪许及其双层同心球照片
虽然卡文迪什是“所有有学问的人中最富有的，也是所有最富有的人中最有学问的”，但由于性格孤僻，他很少与人交往。直到卡文迪什去世，这项研究的结果没有公开发表。1879年，麦克斯韦整理了卡文迪许的研究成果，他的工作为世人所知。如果这一成果能及时发表，也许库仑定律的名字会被改一下。因此，为了推动科学进步，仅仅提出丰富的思想、开发新的实验、解释新的问题或创造新的方法是不够的。还需要有效和及时地与他人交流创新成果，并为共同的知识建设做出贡献。只有那些能够被其他科学家及时有效地认识和利用的研究成果才是有意义的。所以在做科研的时候，要谨慎假设，大胆求证，善于分享，及时发表科研成果，让科学造福人类。
库仑定律的建立
法国工程师、物理学家库仑对电学的研究做出了巨大贡献，被誉为“电磁学中的牛顿”。他出生在法国南部昂古莱姆的一个富裕家庭。1806年8月23日，库仑在巴黎去世，享年70岁。库仑是一个正直高尚的人。T.Young (1773-1829)称赞库仑的道德品质和他的数学研究一样优秀。为纪念库仑而发行的邮票中也有丰富的关于物理学史的材料(图2)。人们可以看到库仑的肖像，他的生卒年代，以及他使用的原始扭秤。
图2邮票上的库仑
1773年，法国科学院通过悬赏公开征集导航罗盘磁针的改进方案。4年后，库仑的论文《制造磁针的最佳方法研究》获得一等奖。认为库仑的磁针支撑在轴上必然会带来摩擦力，所以建议用细毛或丝线悬挂磁针。库仑在实验中发现，丝线扭转时的扭力与磁针转动的角度成正比，这样静电力和磁力就可以用这个装置来测量，这促使他发明了扭秤。库仑扭秤的发明曾经受到纺车的启发。他注意到乡下纱线的断头，而且总是反方向卷曲。纱线捻得越紧，要绕的圈数就越多。他认为可以根据纱线卷曲的程度来测量力，然后用它来测量电荷之间的力。
1785年，库仑通过扭秤实验测得两个电荷之间的作用力与它们之间的距离的关系。他总结道:“两个带同种电荷的小球之间的排斥力与两个球中心距离的平方成反比。”1785年，库仑在他的论文《电力定律》中详细介绍了实验装置、测试过程和实验结果。
库仑扭秤(图3)由一根悬挂在细长金属丝上的光棒和两个连接在光棒两端的平衡球组成。当球没有受力时，光条处于一定的平衡状态。如果两个球中的一个带电，另一个带相同电荷的球放在它附近，电就会作用在球上，使可移动的球立即被排斥，使杆绕悬挂点旋转，直到悬挂线的扭力和电力达到平衡。由于吊线很细，作用在球上的很小的力就能使杆明显偏离原来的位置，旋转角度与力成正比。两个带电体之间的不同距离易于调整和测量。
图3轮库扭秤的组件
在库仑的时代，既没有电荷单位，也没有物体所带电荷的度量。根据实验需要，库仑利用对称性原理改变金属球的电量。他让金属球B先带电，假设其电量为Q；使其与不带电的金属球A接触(A球和B球都是相同的)，即A球和B球的电量都是1/2Q；如果一个不带电的同一个球与球B接触，然后分开，球B的电荷每重复接触一次就会减半，Q，1/2Q，1/4Q，1/8Q，...库仑使活动球和固定球带等量的相同电荷，调节两个球之间的距离:
第一个实验:千分尺指针指向O，用大头针给两个球充电后，两个球之间的距离是36度。此时，吊线的扭转角度为36度。
第二个实验:根据千分尺指针O，将吊线扭转126度后，两个球相互靠近，两个球之间的距离只有18度。此时吊线的扭转角度是126度加18度，也就是144度。
第三个实验:将吊线扭转567度，两个球之间的距离为8.5度。此时吊线扭转角度为567度加8.5度，为575.5度。
分析以上实验数据可以得出，排斥力与距离的平方成反比。然而，扭秤实验在非均质电荷实验中遇到了麻烦。因为金属丝扭转的恢复力矩只与角度的一次方成正比，而重力与距离的二次方成反比，也就是说，重力的变化比扭转力快，不能保证扭秤的稳定性。如果两个带电的球相距很远，误差会很大。如果它们靠得很近，这两个球就会经常撞到一起。这是因为扭秤很灵活，会左右摇摆。两个球体相互吸引的结果是，当它们相互接触时，经常会发生电荷中和现象，导致实验无法进行。
经过反复思考，库仑借鉴动力学实验解决。地面上物体的重力与物体到地心距离的平方成反比，即:
当悬挂在地面上的物体以很小的振幅绕悬挂点摆动时，振幅周期与物体到地心的距离成正比。根据T ∝ r，库仑假设:如果异种电荷之间的引力也与它们之间距离的平方成反比，那么就可以设计一个电摆(图4)用于实验。
设库仑球带正电，圆金纸板带负电。经过实验，得到了以下结果:
第一个实验:圆形金纸盘距离球中心9英寸，20秒内摆动15次。
第二个实验:圆形金纸盘距离球心18英寸，41秒内摆动15次。
图4库仑电摆
第三个实验:圆形金纸盘距离球心24英寸，60秒内摆动15次。
距离比为3 ∶ 6 ∶ 8，振动周期比为20 ∶ 41 ∶ 60。如果符合距离的平方反比定律，则振动周期的比值应为20 ∶ 40 ∶ 54。第三次实验的结果与理论值相差近10%。库仑正确地解释了这种现象是由漏电引起的。这种泄漏取决于带电体的绝缘效率、尺寸、电荷密度和空湿度。因为每分钟的功率损耗大约是四十分之一，而整个实验大约需要四分钟才能完成。在实验的四分钟里，考虑到电的损耗，重力变小，以至于测得的摆动时间比理论值长。
这样经过修正后，两者的数值非常接近。库仑认为，“不同电流体之间的作用力，就像相同电流体之间的相互作用一样，与距离的平方成反比。”库仑用类似单摆的方法测得异种电荷间的引力也与它们距离的平方成反比，这不是通过扭转力和静电力的平衡得到的。
在纠正了实验中的错误后，库仑利用实验揭示了电相互作用和磁相互作用的过程。需要指出的是，库仑只是测量了距离平方的反比关系，正式把静电力和静力归纳到万有引力的范畴。需要强调的是，库仑并没有具体验证静电力与电量的乘积和静磁力与磁荷的乘积成正比。后来，德国物理学家c·高斯(C. Gauss，1777-1855)提出了直接从库仑定律定义电荷测量的思想。1839年，高斯发表了《与距离的平方成反比的引力或斥力的普遍定理》一文，提出了静电高斯定理。
平方反比定律的验证
库仑定律是电学史上第一个定量定律，是电磁学和电磁场理论的基本定律之一，也是物理学的基本定律之一。所以从库仑定律发现开始，科学家们就没有停止过对公式中R的指数2的验证。这是一个有待实验检验的问题。
1971年，美国科学家威廉等人利用高频高压信号、锁定放大器和光纤传输来保证实验条件。借助现代测试手段，平方反比定律的指数偏差扩大了几个数量级，指数2的偏差不超过10-16。所以完全可以假设指数为2。其实2的指数和光子静止质量mz是密切相关的，是可以相互推动的。这是因为现有的理论都是建立在mz等于零的前提下。如果mz不为零，即使这个值很小，也会动摇物理学大厦的基石。比如出现真空色散；光速可以改变；电荷不守恒等。
到目前为止，理论和实验表明点电荷力的平方反比定律是非常精确的。比如著名的α粒子散射实验和地球物理实验表明，在10-11m到107m的尺度范围内，库仑定律是可靠的。
后来库仑的科学家在这方面的研究工作主要是提高了指数n的精度，虽然这些工作也很重要，但从重要性上来说，很难和库仑的工作相比。所以我们把电的平方反比定律叫做库仑定律，电的单位以库仑命名。
两点启示
一是类比法的应用。类比是科学研究中一种重要的思维方法，被誉为科学活动中的“伟大向导”。物理学史上许多重要的发现和发明往往都源于类比。当向新的科学问题进军时，类比推理可以通过联系新旧科学问题之间的相似性来帮助取得重大突破。通过梳理库仑定律的建立过程，可以看出类比法在物理学研究中的重要性。将引力平方反比定律类比到电的新领域，使得库仑定律从一开始就走上了正确的道路(没有走弯路)。总之，如果万有引力定律没有被首先发现，如果没有使用类比的方法，仅仅使用了具体实验数据的积累和分析，要得到严格意义上的库仑定律的表达式，还需要很长的路要走。
不用说，类比也是一把双刃剑。类比推理虽然有创意，但是不靠谱。伟大的德国哲学家黑格尔曾精辟地评论说，类比可能是肤浅的，也可能是深刻的。自然过程非常不同，一直在发展和变化。况且人的认知能力也是受时代条件限制的。因此，毫无疑问，有些类比通常是暂时性的，它们无非是在物理学的发展中充当“药物引爆器”或“催化剂”。因为确切的说，完全新的东西是无法用熟悉的术语来解释的。因此，物理学家在通过类比引入物理概念或建立新的物理定律时，不应局限于原始类比的“一亩三分地”，也不应把所有通过类比得到的推论都视为绝对正确。类比只是物理学家建造宏伟的物理学大厦的脚手架。物理学的大楼一旦建成，脚手架就需要拆除。
第二，理论和实验，就像汽车的两个轮子，相辅相成。物理学是一门自然科学，其研究始终着眼于探索物质世界及其运动规律。物理学是一门以实验为基础的科学，它的概念、定律、公式都是以实验为基础的。库仑定律不仅是一个实验定律，也是电和磁的万有引力定律的推论。如果说库仑定律是一个实验定律，那么库仑扭秤实验就起着重要的作用。即便如此，库仑还是借鉴了牛顿的万有引力理论，模仿万有引力的大小与两个物体质量的关系，“想当然”地认为两个电荷之间的作用力也与两个电荷的电量成正比。没有这个前提，就没有办法进行实验，因为当时电量的测量还没有建立起来。
根据实验数据，库仑和其他科学家不能确定平方反比关系，但比2多一点。回顾库仑定律的发现过程，我们可以看到，如果不是科学家把实验结果中的平方修正当成实验误差，然后删除，库仑定律不会这么快成立。诺奖得主李政道提出“物理学家定律”，准确概括了理论与实验的关系:“没有实验者，理论家就会迷失方向；没有理论家，实验者就会犹豫。”老实说，只有通过实验和理论的合作和相互鼓励，物理学才能建造出宏伟的建筑。
