由问题的条件和目标引进辅助函数，即“构造辅助函数”，这样的方法叫做“构造辅助函数法”，它是“函数与方程数学思想”中的高层次方法，能够巧妙的解决难题。
例题1、已知 a 、b 为实数，并且 e u0026lt; a u0026lt; b , 其中 e 是自然对数的底数，证明 a^b u0026gt; b^a 。
（注：a的b次幂大于b的a次幂）
解：a^b u0026gt; b^a 等价于blna u0026gt; alnb （两边同时取以e为底的对数）等价于(lna)/a u0026gt; (lnb)/b 。
由最后的不等式的两边同构，引进辅助函数
φ（x） = (lnx)/x , x ∈ (e, ∞) 。
由φ‘（x） = (1- lnx)/(x^2) u0026lt; 0 , 可得 φ（x） 在 (e, ∞) 上是减函数 ，
故由 e u0026lt; a u0026lt; b 得 φ（a）u0026gt; φ（b）, 即 a^b u0026gt; b^a 得证。
例题2、求使不等式 2x - 1 u0026gt; m(x^2 - 1）对于 ∣m∣ ≤ 2 的一切实数 m 都成立的 x 的取值范围。
解：构造函数 f(m) = m(x^2 - 1）- (2x-1) , m ∈[-2,2] 。
f(m) u0026lt; 0 在 m ∈[-2,2] 上恒成立
等价于f(-2) u0026lt; 0 且 f(2) u0026lt; 0 ；
等价于-2（x^2-1）- (2x-1) u0026lt; 0 且 2（x^2-1）- (2x-1) u0026lt; 0；
等价于2x^2 2x - 3 u0026gt; 0 且 2x^2 - 2x - 1 u0026lt; 0 ;
等价于（√7 - 1）/2 u0026lt; x u0026lt; （√3 1）/2 。
所以 x 的取值范围是（（√7 - 1）/2 ，（√3 1）/2）。
注:将关于x的不等式看成关于m的不等式，进而构造函数 f(m) = m(x^2 - 1）- (2x-1) , m ∈[-2,2]。
这个函数是一次函数或常数函数，它的图像是线段，固有上面的巧妙解答。
而这是利用变量相对的观点来构造辅助函数的，从中可以看到数学的自由思考的特点！
例题3、已知椭圆 x^2/a^2 y^2/b^2 = 1 (au0026gt;bu0026gt;0),A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点
P（x。，0），证明：-（a^2 -b^2 ）/a u0026lt; x。u0026lt; （a^2 -b^2 ）/a 。
证明：设M（x,y）是椭圆上任意一点，则
∣PM∣^2 = （x - x。）^2 y^2 = （x - x。）^2 b^2 (1- x^2/a^2)
= （a^2 -b^2 ）/a^2 • x^2 - 2x。x x。^2 b^2 。
引进辅助函数 f(x) = ∣PM∣^2 ,即
f(x) = （a^2 -b^2 ）/a^2 • x^2 - 2 x。x x。^2 b^2 ，x∈[-a,a]。
依题意，存在x1,x2∈[-a,a]，x1 ≠ x2 ，且 f(x1) = f(x2) 。
（若x1 = x2，则AB的垂直平分线平行或重合于x轴，这与题意矛盾，所以x1 ≠ x2）。
所以二次函数 f(x) 在[-a,a]上不单调，
所以对称轴 -2x。/[2×（a^2 -b^2 ）/a^2] ∈ （-a,a）,
即得：-（a^2 -b^2 ）/a u0026lt; x。u0026lt; （a^2 -b^2 ）/a 。
例题4、解方程：
3x • [2 √(9x^2 3) ] (2x 1){2 √[(2x 1)^2 3]} = 0 。
解由方程的两边同构，构造函数：
f（x）= x • (2 √[x^2 3]),x∈R.
因为 f（-x）= -f（x），即f（x）是奇函数，
所以原方程化为 f（2x 1）= f（-3x）
又因为f（x）在R上是增函数 （导数 f‘（x）u0026gt;0）
所以 2x 1 = -3x
即原方程的解： x = -1/5 .
关键词： 是什么意思
